Lineare Regression mit dem Casio fx-991DE X


Für die lineare Regression mit dem CASIO fx-991DE X nehmen wir das Beispiel aus der linearen Regression, die per Hand gerechnet wurde:

Von \(12\) Personen sei die Körpergröße in Zentimeter als unabhängige Variable \(x\) und das Körpergewicht in Kilogramm als abhängige Variable \(y\) gegeben. \(i\) sei die Zählvariable.

my image

\(\\\)

Als Diagramm:

my image

\(\\\)

Wir verwenden die Statistikfunktion. Zuvor vergewissern wir uns jedoch, dass die Tabellenanzeige richtig eingestellt ist.

Wir gehen dazu in das SETUP-Menu mit \(\boxed{\color{#C19A6B}{SHIFT}}\) \(\boxed{MENU}\)

my image

\(\\\)

Mit

my image

\(\\\)

bekommen wir

my image

\(\\\)

\(\boxed{3}\) auswählen

my image

\(\\\)

und \(\boxed{2}\) auswählen. Nun ist die Tabellenanzeige richtig eingestellt.

Anschließend gehen wir in den Statistikbereich unter dem \(\boxed{MENU}\). Wir gehen nach rechts mit den Pfeiltasten

my image

\(\\\)

bis

my image

\(\\\)

erscheint und bestätigen mit \(\boxed{=}\).

my image

\(\\\)

Wir wählen zum Berechnen einer Regressionsgeraden \(\boxed{2}\)

my image

\(\\\)

Wir befüllen die Tabelle mit den obigen Tabellenwerten und haben dann folgende Anzeige:

my image

\(\\\)

Eine Regressionsgerade ist von der Form

\( \quad y=a + bx \)

\(\\\)

Um die Werte \(a\) und \(b\) zu erhalten wählen wir \(\boxed{OPTN}\) \(\boxed{4}\). Wir erhalten die Anzeige

my image

\(\\\)

Gezeichnet erhalten wir nun folgende Regressionsgerade:

my image

Der Korrelationskoeffizient mit \(r = 0{,}87295720629\) spricht dafür, dass sich diese Meßwerte gut als Gerade repräsentieren lassen.

\(\\\)

Aber nun das Ganze noch einmal im Detail:

Wie die Werte \(a\), \(b\) und \(r\) per Hand berechnet werden, habe ich im Unterpunkt der Regressionsgeraden ausgeführt. Im Gegensatz dazu verwendet der CASIO fx-991DE X die Bezeichnungen

\( \quad \begin{array}{ r c l } \overline{x^2} - \overline{x}^2 & = & \sigma_x^2\\[6pt] \sqrt{\overline{x^2} - \overline{x}^2} & = & \sigma_x \\[6pt] \overline{y^2} - \overline{y}^2 & = & \sigma_y^2\\[6pt] \sqrt{\overline{y^2} - \overline{y}^2} & = & \sigma_y \\ \end{array} \)

\(\\\)

Wir berechnen also \(a\), \(b\) und \(r\) wie folgt:

\( \quad \begin{array}{ r c l } b & = & \dfrac{\overline{xy} - \overline{x} \cdot \overline{y}}{\sigma_x^2} \\[14pt] a & = & \overline{y} - b \cdot \overline{x} \\[10pt] r_{xy} & = & \dfrac{ \overline{xy} - \overline{x} \cdot \overline{y} } { \sigma_x \cdot \sigma_y } \\ \end{array} \)

\(\\\)

Um \(a\), \(b\) und \(r_{xy}\) zu ermitteln brauchen wir also die genannten Mittelwerte sowie \(\sigma_x\), \(\sigma_x\), \(\sigma_x^2\) und \(\sigma_y^2\). Diese können wir uns auch anzeigen lassen. Dazu gehen wir erneut auf \(\boxed{OPTN}\). Wir gelangen wieder zur Tabelle.

my image

\(\\\)

Weiter geben wir \(\boxed{OPTN}\) \(\boxed{3}\) ein. Wir erhalten diese Werte:

my image

\(\\\)

Weitere Werte sehen wir mit Pfeil unten

my image

my image

\(\\\)

und noch einmal Pfeil unten

my image

\(\\\)

und noch einmal

my image

\(\\\)

Uns interessieren nur folgende Daten:

\( \quad \begin{array}{ r c l } n & = & 12 \\[6pt] \overline{x} & = & 182 \\[6pt] \overline{y} & = & 76{,}5 \\[6pt] \sigma^2 x & = & 122{,}8333333 \\[6pt] \sigma x & = & 11{,}08302005 \\[6pt] \sigma^2 y & = & 160{,}75 \\[6pt] \sigma y & = & 12{,}67872233 \\[6pt] \sum{xy} & = & 168548 \\[6pt] \end{array} \)

\(\\\)

Vom letzten Wert ist nur die Summe angegeben. Wir berechnen noch den dazu gehörigen Mittelwert:

\( \quad \begin{array}{ r c c c c c l } \overline{xy} & = & \dfrac{\sum xy}{n } & = & \dfrac{168548}{12} & = & 14045{,}667 \\ \end{array} \)

\(\\\)

Damit ergeben sich \(a\), \(b\) und \(r_{xy}\) :

\( \quad \begin{array}{ r c c c c c l } b & = & \dfrac{\overline{xy} - \overline{x} \cdot \overline{y}}{\sigma_x^2} & = & \dfrac{14045{,}67 - 182 \cdot 76{,}5}{122{,}8333333} & = & 0{,}9987 \\[16pt] a & = & \overline{y} - b \cdot \overline{x} & = & 76{,}5 - 0{,}9987 \cdot 182 & = & - 105{,}2634\\ \end{array} \)

\(\\\)

\( \quad \begin{array}{ r c l } r_{xy} & = & \dfrac{\overline{xy} - \overline{x} \cdot \overline{y}}{\sigma_x \cdot \sigma_y} & = & \dfrac{14045{,}67 - 182 \cdot 76{,}5}{11{,}08302005 \cdot 12{,}67872233} & = & 0{,}873 \\ \end{array} \)

\(\\[1em]\)